Matemáticos encuentran nuevas soluciones a un antiguo enigma

physorg.com
Traducido por Ciencia Kanija
14/03/08

Mucha gente encuentra complejos los enigmas matemáticos, incluyendo algunos matemáticos. Recientemente, el matemático Daniel J. Madden y el físico retirado, Lee W. Jacobi, hallaron soluciones a un enigma que ha permanecido durante siglos.

Jacobi y Madden han encontrado una forma de generar un número infinito de soluciones para un misterio conocido como la “Ecuación de Euler de grado cuatro”.

La ecuación es parte de una rama de las matemáticas conocida como Teoría de Números. La Teoría de Números trabaja con las propiedades de los números y la forma en que se relacionan entre sí. Está llena de problemas que pueden estar vinculados a los enigmas numéricos.

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“Es como un puzzle: ¿puedes encontrar cuatro potencias cuartas que sumadas den otra cuarta potencia?”. Tratar de resolver esta cuestión es difícil porque es altamente improbable que alguien se siente y tropiece accidentalmente con algo como eso”, dijo Madden, profesor asociado de matemáticas en la Universidad de Arizona en Tucson.

El resultado del equipo se publica en el ejemplar de marzo de The American Mathematical Monthly.

Las ecuaciones son enigmas que necesitan ciertas soluciones “acopladas en ellas” para crear una afirmación que obedece las reglas de la lógica.

Por ejemplo, piensa en la ecuación x + 2 = 4. Acoplando el “3” en la ecuación no funciona, pero para x = 2, entonces la ecuación es correcta.

En el enigma matemático que Jacobi y Madden resolvieron, el problema era encontrar variables que satisficieran una ecuación Diofántica de orden cuatro. Estas ecuaciones se conocen por este nombre debido a que el primero en estudiarlas fue el matemático de la antigua Grecia Diofanto, conocido como “el padre del álgebra”.

En su versión más simple, el enigma que intentaban resolver es la ecuación:

(a)(a la cuarta potencia)+ (b)(a la cuarta potencia) + (c)(a la cuarta potencia) + (d)( a la cuarta potencia) = (a + b + c + d)( a la cuarta potencia)

Tal ecuación expresada matemáticamente es:
a4 + b4 +c4 +d4 = (a + b + c + d) 4

Madden y Jacobi encontraron una forma de hallar los números a sustituir, o acoplar, para las ‘a’, ‘b’, ‘c’ y ‘d’ en la ecuación. Todas las soluciones que han encontrado hasta ahora son números muy grandes.

En 1772, Euler, uno de los mayores matemáticos de todos los tiempos, teorizó que para satisfacer ecuaciones con potencias altas, se necesitarían tantas variables como potencias. Por ejemplo, una ecuación de orden cuatro se necesitarían cuatro variables distintas, como la ecuación de arriba.

La hipótesis de Euler se demostró incorrecta en 1987 por un estudiante graduado de Harvard llamado Noam Elkies. Encontró un caso donde sólo eran necesarias tres variables. Elkies resolvió la ecuación: (a)(a la cuarta potencia) + (b)( a la cuarta potencia) + (c)( a la cuarta potencia) = e(a la cuarta potencia), lo cual demuestra que sólo se necesitan tres variables para crear una variables que es de potencia cuarta.

Inspirado por los éxitos del estudiante graduado de 22 años, Jacobi comenzó a trabajar en las matemáticas como afición después de retirarse de la industria de defensa en 1989.

Afortunadamente, esta no es la primera vez que había tratado con ecuaciones Diofánticas. Le eran familiares debido a que las usaba habitualmente en cálculos físicos relacionados con la Teoría de Cuerdas.

Jacobi comenzó a buscar nuevas soluciones al misterio usando métodos que encontró en algunos textos de teoría de números y artículos académicos.

Usó tales recursos y Mathematica, un programa de ordenador para manipulaciones matemáticas.

Jacobi encontró inicialmente una solución para la cual cada una de las variables tenía una longitud de 200 dígitos. Esta solución era distinta de las 88 conocidas anteriormente para este enigma, por lo que sabía que había encontrado algo importante.

Jacobi entonces le mostró los resultados a Madden. Pero Jacobi tuvo un error inicial al copiar los datos de una variable de su programa Mathematica, y cuando mostró los resultados a Madden éstos eran incorrectos.

“La solución era incorrecta, pero de una forma interesante. Estaba lo bastante cerca para hacerme querer ver dónde se había producido el error”, dijo Madden.

Cuando descubrieron que la solución era incorrecta sólo debido al error de transcripción de Jacobi, comenzaron a colaborar para hallar más soluciones.

Madden y Jacobi usaron curvas elípticas para generar nuevas soluciones. Cada solución contenía una semilla para crear más soluciones, lo cual es mucho más eficiente que los métodos usados con anterioridad.

En el pasado, la gente encontraba nuevas soluciones usando ordenadores para analizar enormes cantidades de datos. Esto requería un enorme tiempo de cómputo y potencia conforme se dispara la magnitud de los números.

Ahora la gente puede generar tantas soluciones como deseen. Existen un infinito número de soluciones a este problema, y Madden y Jacobi han encontrado una forma de hallarlas todas.

El título de su artículo es, “Sobre a4 + b4 +c4 +d4 = (a + b + c + d) 4“.

“La teoría de números moderna me permitió ver con mayor calridad las implicaciones de sus cálculos (de Jacobi)”, dijo Madden.

“Fue una colaboración genial”, dijo Jacobi. “He aprendido una cierta cantidad de cosas nuevas sobre teoría de números; cómo pensar en término de teoría de números, aunque a veces puedo ser tozudamente algebraico”.