Nuevo patrón encontrado en los números primos

Lisa Zyga
Physorg / Ciencia Kanija
05/08/09

Los números primos han intrigado a los pensadores curiosos durante siglos. Por una parte, los números primos parecen estar distribuidos aleatoriamente entre los números naturales sin otra ley que el azar. Pero por otra parte, la distribución global de los primos revela una regularidad notablemente suave. Esta combinación de aleatoriedad y regularidad ha motivado a los investigadores a buscar patrones en la distribución de los primeros que finalmente puede arrojar luz sobre su naturaleza última.

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En un estudio reciente, Bartolo Luque y Lucas Lacasa de la Universidad Politécnica de Madrid en España han descubierto un nuevo patrón en los primos que sorprendentemente había pasado inadvertido hasta el momento. Encontraron que la distribución del primer dígito en la secuencia de números primos puede describirse mediante una generalización de la ley de Benford. Además, este mismo patrón también aparece en otra secuencia de números, la de los primeros dígitos de ceros no triviales en zeta de Riemann, la cual se sabe que está relacionada con la distribución de los primos. Además de proporcionar una visión sobre la naturaleza de los números primos, el hallazgo podría también tener aplicaciones en áreas como la detección de fraudes y el análisis del mercado de valores.

“Los matemáticos han estudiado los números primos durante siglos”, dijo Lacasa a PhysOrg.com. “Nuevas visiones y conceptos procedentes de la ciencia no lineal, como los procesos multiplicativos, nos ayudan a observar los números primos desde una perspectiva diferente. De acuerdo con este enfoque, se hace significativo que incluso hoy aún es posible descubrir pistas desconocidas de regularidad estadística en tales secuencias, sin ser un experto en teoría de números. No obstante, el tema más significativo de este trabajo no es revelar este patrón en los primos y ceros de Riemann, sino comprender la razón e implicaciones de una estructura tan inesperada, no sólo para temas de teoría de números sino, de forma interesante, para otras disciplinas también. Por ejemplo, estos resultados profundizan en nuestra comprensión de las correlaciones en sistemas compuestos por muchos elementos”.

La Ley de Benford (LB), llamada así por el físico Frank Benford en 1938, describe la distribución de los primeros dígitos en una amplia variedad de conjuntos de datos y secuencias matemáticas. De forma un tanto inesperada, los primeros dígitos no están distribuidos aleatoria o uniformemente, sino que el lugar de esto la distribución en logarítmica. Es decir, 1 como primer dígito aparece aproximadamente un 30% de las veces, y los siguientes dígitos aparecen cada vez con menor frecuencia, con el 9 apareciendo con menor asiduidad. La ley de Benford se ha demostrado que describe distintos conjuntos de datos, desde las constantes físicas a la longitud de los ríos del mundo.

Desde finales de la década de 1970, los investigadores han sabido que los propios números primos, cuando se toman en conjuntos de datos muy grandes, no se distribuyen de acuerdo con la Ley de Benford. En lugar de esto, la distribución del primer dígito de los primos parece ser aproximadamente uniforme. Sin embargo, como señalan Luque y Lacasa, en menores conjuntos de datos (intervalos) de primos exhiben un claro sesgo en la distribución del primer dígito. Los investigadores notaron otro patrón: cuanto mayor es el conjunto de datos de primos que analizaban, más estrechamente se aproximaba a la uniformidad la distribución del primer dígito. A la luz de esto, los investigadores se preguntaron su existía un patrón subyacente en la tendencia hacia la uniformidad cuando el intervalo de primos se incrementaba a infinito.

El conjunto de todos los primos – como el conjunto de todos los enteros - es infinito. Desde un punto de vista estadístico, una dificultad en este tipo de análisis es decidir cómo elegir de forma “aleatoria” en un conjunto de datos infinito. Por lo que debe elegirse un intervalo finito, incluso si no es posible hacerlo completamente aleatorio de una forma que satisfaga las leyes de la probabilidad. Para superar este punto, los investigadores decidieron elegir varios intervalos de la forma [1, 10d]; por ejemplo, 1-100 000 para d = 5, etc. En estos conjuntos, todos los primeros dígitos eran igualmente probables a priori. Por lo que si surgía un patrón en el primer dígito de los primos en un conjunto, revelaría algo sobre la distribución del primer dígito de los primos, al menos en ese conjunto.

Observando múltiples conjunto conforme d se incrementaba, Luque y Lacasa pudieron investigar cómo cambia la distribución del primer dígito cuando el conjunto de datos se incrementa. Encontraron que los primos seguían una Ley de Bendford Generalizada dependiente del tamaño (LBG). Una LBG describe la distribución de números del primer dígito en series que se generan por distribuciones de la ley de potencias, tales como [1, 10d]. Conforme d se incrementa, la distribución del primer dígito de primos se hace más uniforme, siguiendo una tendencia descrita por la LBG. Tal y como explica Lacasa, tanto la LB como la LBG se aplican a muchos procesos de la naturaleza.

“Imagina que tienes 1000 dólares en tu cuenta del banco, con un interés del 1% cada mes”, dijo Lacasa. “El primer mes, tu dinero será 1000*1,01 = 1010.El siguiente mes, 1010*1,01, etcétera. Trasr n meses, tendrás 1,000*(1,01)n. Nota que necesitarás muchos meses para llegar de 1000 a 2000, mientras que pasar pasar de 8000 a 9000 será mucho más fácil. Cuando analices tu cuenta del banco, te darás cuenta que el primer dígito 1 está más representado que 8 o 9, precisamente como dicta la Ley de Benford. Este es un ejemplo muy básico de un proceso multiplicativo donde 0,01 es la constante de multiplicación.

“Los físicos han demostrado que muchos procesos de la naturaleza pueden ser modelados como procesos estocásticos multiplicativos, donde el valor anteriormente constante de 0,01 es ahora una variable aleatoria y los datos equivalentes al dinero de nuestro último ejemplo es otra variable aleatoria con una distribución subyacente de 1/x. Los procesos estocásticos con tales distribuciones se demuestra que siguen la LB. Ahora, muchos otros fenómenos encajan mejor en un proceso estocástico con una probabilidad subyacente más general x^[-alfa], donde alfa es distinto de uno. La distribución del primer dígito que se relaciona con esta distribución general de potencias es la conocida como Ley de Bendford Generalizada (la cual converge a LB para alfa =1).”

De forma significativa, Luque y Lacasa demostraron en su estuvio que la LBG puede explicarse mediante el teorema del número primo; específicamente la forma de la densidad local media de las ciencias es la responsable del patrón. Los investigadores también desarrollaron un marco de trabajo matemático que proporciona condiciones para que cualquier distribución conforme una LBG. Las condiciones se basan en anteriores investigaciones, las cuales han demostrado que el comportamiento de Benford podría tener lugar cuando una distribución sigue una LB para unos valores concretos de sus parámetros, como en el caso de los primos. Luque y Lacasa también investigaron la secuencia de ceros no triviales de zeta Riemann, la cual está relacionada con la distribución de los primos, y cuya distribución de los ceros se considera que es uno de los problemas matemáticos más importantes por resolver. Aunque la distribución de los ceros no sigue una LB, aquí los investigadores encontraron que sigue una LBG dependiente del tamaño, como en el caso de los primos.

Los investigadores sugieren que este trabajo podría tener distintas aplicaciones, tales como identificar otras secuencias que no tengan distribuciones de Benford, pero puedan estar en una LBG. Ademñas, muchas aplicaciones que han sido desarrolladas para la Ley de Benford podrían finalmente ser generalizadas al contexto más amplio de la Ley de Benford Generalizada. Una de tales aplicaciones es la detección de fraudes: mientras que los datos generados de forma natural obedecen la Ley de Benford, los datos supuestos como aleatorios (fraudulentos) no lo hacen, en general.

“La LB es un caso específico de LBG”, explicó Lacasa. “Muchos procesos en la naturaleza pueden ajustarse a una LBG con alfa=1, es decir, una LB. La estructura oculta que cuantifica la Ley de Benford se pierde cuando los números se modifican artificialmente: este es un principio para la detección de fraude en las cuentas, donde se aplican los mecanismos combinatorios asociados a los conjuntos de cuentas tales como la LB. El mismo principio se mantiene para procesos que siguen una LBG con un alfa genérico, donde falla la LB. Por último, para procesos cuya densidad subyacente no es x^(-alfa) sino 1/logN, una LBG dependiente del tamaño sería el distintito correcto”.